La naissance de l'Algèbre

Histoire des Mathématiques

Le mot Algèbre vient de l'arabe al-jabr. Algorithme, qui signifie procédé de calcul utilisant un nombre fini d'applications d'une règle, vient du nom d'un mathématicien arabe Al-Khwarizmi.

timbre représentant Al-Khwarizmi

Quelle chance de savoir résoudre un problème en le mettant en équation et en résolvant l'équation. Mais sait-on que plus de 30 siècles d'efforts ont été nécessaires avant que Leibniz ( mathématicien allemand, 1646 - 1716 ) puisse écrire : " Cette méthode épargne l'esprit et l'imagination [ ... ] Elle nous fait raisonner à peu de frais en mettant des caractères à la place des choses pour désembarrasser l'imagination. "

La marche vers l'inconnue

On trouve des problèmes numériques sur les tablettes d'argile babyloniennes et sur les papyrus égyptiens du 18e siècle avant J.-C.. Il s'agit souvent de partager des richesses ou des salaires, ou bien de calculer des poids, des longueurs, des aires ou des volumes. La solution se borne généralement à une suite de calculs qui ménent au résultat, mais elle n'apporte pas de justification et n'indique aucune méthode générale. Bref, ce n'est pas de l'algèbre. Il faut attendre le Grec Diophante ( d'Alexandrie ), au 3e siècle après J.-C., pour voir un mathématicien chercher un nombre ayant telle ou telle propriété, sans aucune préoccupation concrète ou géométrique. Déjà, on peut dire que Diophante résout des équations puisqu'il cherche un nombre inconnu qu'il prend soin de désigner par un symbole spécial. Pour le reste, ses équations sont écrites sous la forme d'une phrase, avec quelques abréviations.

Répondez moi franchement : Préférez-vous résoudre " six fois le nombre diminué de trois est égal au double du nombre augmenté de cinq " ou bien " 6x - 3 = 2x + 5 " ?

Par al-jahr et al-muqabala

Après Diophante, ce sont les savants de l'Inde qui poursuivent les recherches en algèbre. Puis, au 9e siècle, le mathématicien Al-Khwarizmi qui travaillait à Bagdad décrit une méthode précise pour résoudre des équations.

• Il enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation : cette technique est nommée " al-jahr ". Ainsi 6x - 3 = 2x + 5  devient 6x = 2x + 8, en ajoutant 3 à chaque membre.
• Il soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres : cette technique est nommée " al-muqabala ". Ainsi, l'équation précédente devient 4x = 8 en soustrayant 2x à chaque membre.
• Il trouve finalement x = 2 en divisant les deux membres par 4.

Les oeuvres d' Al-Khwarizmi , écrites en arabe, on été traduites en latin et diffusées en Europe par l'Italie et l'Espagne. Ceci contribua à éveiller l'activité mathématique très peu développée dans l'Europe occidentale au Moyen-Âge.

Des chiffres et des lettres

Bon, on savait désormais résoudre des équations ( pas trop compliquées ) mais on les écrivait toujours en phrases ! Grâce à l'usage des chiffres, on cesse d'écrire les nombres en toutes lettres. A la fin du 15e siècle apparaissent les signes + et -, bientôt accompagnés de symboles  pour la multiplication et la division. L'Anglais Recorde imagine en 1557 le signe = ( bien commode pour les équations ); et Harriot propose les signes < et > en 1631 ( pour les inéquations). Le dernier grand progrès fut de noter les nombres à l'aide de lettres, ce qui permet de travailler sur des formules littérales ( écrites avec des lettres ) valables quelles que soient les valeurs des lettres. Le Français François Viète ( 1540 - 1603 ), qui a étudié Diophante et Al-Khwarizmi, propose de représenter les nombres connus par des consonnes et les inconnues par des voyelles " afin que la mise en équation soit aidée ", écrit-il. Descartes ( 1596 - 1650 ) préférera les lettres du début de l'alphabet ( a, b, c, d,...) pour les nombres connus et celles de la fin ( z, y, x,...) pour les inconnues. C'est l'usage le plus répandu actuellement.