LE CANARD REPUBLICAIN

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2008

• Progrès des sciences et progrès moral

2007

• Ionesco : le Logicien et le Vieux Monsieur
• Biographie d'Evariste Galois
• La naissance de l'Algèbre
• La sérennité et le doute...

Progrès des sciences et progrès moral

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"Portrait de Baudelaire", par Gustave Courbet, vers 1848, huile sur toile, Musée Fabre, Montpellier.espace

" Il est encore une erreur fort à la mode, de laquelle je veux me garder comme de l'enfer.- Je veux parler de l'idée du progrès. Ce fanal obscur, invention du philosophisme actuel, breveté sans garantie de la Nature ou de la Divinité, cette lanterne moderne jette des ténèbres sur tous les objets de la connaissance ; la liberté s'évanouit, le châtiment disparaît. Qui veut y voir clair dans l'histoire doit avant tout éteindre ce fanal perfide. Cette idée grotesque, qui a fleuri sur le terrain pourri de la fatuité moderne, a déchargé chacun de son devoir, délivré toute âme de sa responsabilité, dégagé la volonté de tous les liens que lui imposait l'amour du beau : et les races amoindries, si cette navrante folie dure longtemps, s'endormiront sur l'oreiller de la fatalité dans le sommeil radoteur de la décrépitude. Cette infatuation est le diagnostic d'une décadence déjà trop visible.

   Demandez à tout bon Français qui lit tous les jours son journal dans son estaminet ce qu'il entend par progrès, il répondra que c'est la vapeur, l'électricité et l'éclairage au gaz, miracles inconnus aux Romains, et que ces découvertes témoignent pleinement de notre supériorité sur les anciens ; tant il s'est fait de ténèbres dans ce malheureux cerveau et tant les choses de l'ordre matériel et de l'ordre spirituel s'y sont si bizarrement confondues ! Le pauvre homme est tellement américanisé par ses philosophes zoocrates et industriels qu'il a perdu la notion des différences qui caractérisent les phénomènes du monde physique et du monde moral, du naturel et du surnaturel.

  Si une nation entend aujourd'hui la question morale dans un sens plus délicat qu'on ne l'entendait dans le siècle précédent, il y a progrès ; cela est clair. Si un artiste produit cette année une oeuvre qui témoigne de plus de savoir ou de force imaginative qu'il n'en a montré l'année dernière, il est certain qu'il a progressé. Si les denrées sont aujourd'hui de meilleure qualité et à meilleur marché qu'elles n'étaient hier, c'est dans l'ordre matériel un progrès incontestable. Mais où est, je vous prie, la garantie du progrès pour le lendemain ? Car les disciples des philosophes de la vapeur et des allumettes chimiques l'entendent ainsi : le progrès ne leur apparaît que sous la forme d'une série indéfinie. Où est cette garantie ? Elle n'existe, dis-je, que dans votre crédulité et votre fatuité. "

Charles Baudelaire, 1855, Exposition universelle.

P.S. du canard républicain :

• Une invitation à lire l'article "Des savants parfois schizophrènes" d'André Bellon (Le Monde diplomatique, juin 2002)...relations houleuses entre science et société.

Etes-vous atteint par la "rhinocérite" ?

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Eugène Ionesco

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   L'extrait qui suit est tiré de la pièce de théâtre Rhinocéros écrite en 1959 par Eugène Ionesco. L'interprétation de cette pièce reste ouverte. L'une de ces interprétations serait la dénonciation de tous les régimes totalitaires (nazisme, stalinisme et autres) et du comportement de la foule qui suit sans rien dire par peur. Une maladie, la "rhinocérite" gagne peu à peu toute une ville dont les habitants, séduits, se transforment tous en rhinocéros. Tous sauf un, Bérenger, qui restera un homme jusqu'à la fin...

Le Vieux Monsieur est atteint par la "rhinocérite", tout comme le Logicien...Ionesco utilise, pour symboliser une dérive d'un mode de pensée, un dérèglement de la parole avec un passage significatif qui est le discours du Logicien au Vieux Monsieur. En effet ce passage est une série de faux syllogismes utilisés par le Logicien pour "séduire" le Vieux Monsieur et le convaincre de la grandeur de la logique. Extrait :

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Je vais vous expliquer le syllogisme.

Le Vieux Monsieur

Ah ! oui, le syllogisme !

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Le syllogisme comprend la proposition principale, la secondaire et la conclusion.

Le Vieux Monsieur

Quelle conclusion ?

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Voici donc un syllogisme exemplaire. Le chat a quatre pattes. Isidore et Fricot ont chacun quatre pattes. Donc Isidore et Fricot sont chats.

Le Vieux Monsieur, au Logicien.

Mon chien aussi a quatre pattes.

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Alors, c'est un chat.

Le Vieux Monsieur, au Logicien après avoir longuement réfléchi.

Donc, logiquement, mon chien serait un chat.

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Logiquement, oui. Mais le contraire est aussi vrai.

Le Vieux Monsieur, au Logicien.

C'est très beau, la logique.

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

A condition de ne pas en abuser...

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

Autre syllogisme : tous les chats sont mortels. Socrate est mortel. Donc Socrate est un chat.

Le Vieux Monsieur

Et il a quatre pattes. C'est vrai, j'ai un chat qui s'appelle Socrate.

Le Logicien

Vous voyez...

Le Vieux Monsieur, au Logicien.

Socrate était donc un chat !

Le Logicien, au Vieux Monsieur.

La logique vient de nous le révéler.

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Source de cet extrait : Rhinocéros, d'Eugène Ionesco, Editions Gallimard, 1959, p. 33 à 47.

P.S. :

• Eugène Ionesco est né en 1912 à Slatina (Roumanie), d'un père roumain et d'une mère d'origine française. Immigré en France en 1913, il fut elevé à Paris et en Mayenne. Il a inventé une nouvelle sorte de théâtre avec La Cantatrice chauve. Ionesco a été élu à l'Académie française en 1970. Il meurt à Paris en 1994.
• La logique mathématique est bien évidemment un modèle de rigueur et il est possible que les "raisonnements" des personnages d'Eugène Ionesco ne soient pas mathématiquement irréprochables...A quoi sert la littérature ? A quoi sert les mathématiques ? Aujourd'hui ces deux domaines sont en crise dans l'Education nationale...A votre avis, pour quelle(s) raison(s) ? Personnellement, j'ai une petite idée sur la question...

Biographie d'Evariste Galois

Evariste Galois ( 25 octobre 1811 [Bourg-la-Reine] - 31 mai 1832 [Paris] )

La plus célèbre, fascinante et commentée des vies de mathématiciens. Elle est même devenue mythique, au point qu'il est parfois difficile de démêler le mythe et la réalité.

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Une enfance déjà mouvementée

Evariste Galois est né à Bourg-la-Reine le 25 octobre 1811, d'un père maire libéral de la commune. Sa mère, Adélaïde Marie Demante, fille de magistrat, s'occupe de son éducation jusqu'à 12 ans, et le nourrit de culture latine. Il entre à 12 ans au lycée Louis-le-Grand, où il suit une scolarité d'abord honorable, avant de marquer assez vite des signes de lassitude. Dès 1827-1828, la fureur des mathématiques domine. Galois lit Legendre (Eléments de géométrie), Lagrange (textes sur la résolution des équations), Euler, Gauss, Jacobi. Il obtient le 1er prix au Concours Général de mathématiques, mais échoue à l'entrée à Polytechnique.

Il entre en octobre 1828 en spéciales à Louis-le-Grand. Le professeur, Mr Richard, admire le génie mathématique de son élève et garde les copies qu'il confiera à un autre de ses élèves : Charles Hermite. C'est l'époque où il publie son premier article dans les Annales mathématiques de Joseph Gergonne (il démontre un théorème sur les fractions continues périodiques). Il rédige aussi un premier mémoire sur la théorie des équations, envoyé à l'Académie des Sciences, il sera "perdu" par Cauchy.

Les premières épreuves

Les épreuves et les drames commencent alors. Le 2 juillet 1829, son père se suicide à la suite d'une cabale montée contre lui par le curé de Bourg-la-Reine. Quelques jours plus tard, il échoue au concours d'entrée à Polytechnique, à la stupéfaction de Mr Richard. On raconte qu'il a jeté le chiffon à effacer la craie à la tête de son examinateur devant la stupidité des questions posées.

Sur les conseils de son professeur, Galois entre à l'École Préparatoire, future École Normale. Il rédige le résultat de ses recherches dans un mémoire - Conditions pour qu'une équation soit résoluble par radicaux - afin de concourir au grand prix de mathématiques de l'Académie des Sciences. Fourier emporte le manuscrit chez lui et meurt peu après : le manuscrit est perdu, et le grand prix est décerné à Abel (mort l'année précédente), et à Jacobi.

Les événements politiques

A partir de 1830, les vies mathématiques et politiques de Galois vont s'entrecroiser. En 1824, Charles X a succédé à Louis XVIII. Le ministre Villèle accumule les mesures impopulaires, parmi lesquels le projet de loi sur la presse et la dissolution de la garde nationale, créée en 1789, et coupable d'avoir manifestée contre le gouvernement. Sous le ministère de Polignac (1829-1830), Charles X signe 4 ordonnances (suppression de la liberté de la presse, dissolution de la chambre, modification de la loi électorale, fixation de la date de nouvelles élections) qui violent la charte et provoquent immédiatement 3 journées de Révolution (les 3 glorieuses) les 27,28 et 29 juillet. Galois est consigné dans son école, et il ne peut participer à l'action contrairement aux polytechniciens, qui ont fait le mur et resteront dans l'histoire. A la suite de ces événements, le duc d'Orléans, habilement poussé en avant par ses partisans, devient roi sous le nom de Louis-Philippe. Si celui-ci prête serment à la Charte, il reste pour les républicains un usurpateur, dont l'élection est entachée d'illégalités. Devant l'évolution conservatrice de son gouvernement, ils multiplient contre lui les sociétés secrètes.

Le renvoi de l'École Préparatoire

Galois, républicain actif et intrépide, adhère à l'une d'entre elles, la société des amis du peuple présidée par Raspail, le 10 novembre 1830. Une violente polémique nait alors entre Galois et le directeur de L'École Préparatoire. Opportuniste, ce dernier met ses élèves à la disposition du gouvernement de Louis-Philippe, et en profite pour durcir la discipline de l'École. Galois est excédé et va faire publier deux longues lettres dans la Gazette des écoles. Dans la première, datée du 5 décembre 1830, il tourne son directeur en dérision. Dans la seconde, datée du 2 janvier 1831, titrée sur l'Enseignement des Sciences, il dénonce la médiocrité de l'enseignement aux étudiants. Par une décision exceptionnelle, Galois est renvoyé début janvier. Sans ressources, Galois ouvre le 13 janvier un cours d'algèbre supérieure chez le libraire Caillot, au 5 rue de la Sorbonne. Sous les conseils de Denis Poisson, il présente le 17 janvier à l'Académie des Sciences une nouvelle version de son mémoire perdu. Ce sont Poisson et Lacroix qui sont chargés de l'étudier, mais quand ils rendent leur rapport, le 4 juillet, c'est un avis négatif qu'ils transmettent, jugeant le mémoire incompréhensible.

La prison et la fin...

Pendant ce temps, les tensions politiques ne se sont pas apaisées. Louis-Philippe parvient à réformer la Garde Nationale, qu'il met désormais à son service. Le 9 mai 1831, lors d'un banquet au restaurant Les Vendanges de Bourgogne, Galois porte un toast "A Louis-Philippe", un couteau à la main, ce qui provoque un tollé général dans la salle (Galois précisera que le texte complet est "A Louis-Philippe, s'il trahit", et que seuls ses voisins ont vu le couteau et entendu la deuxième partie de son propos). Arrêté le lendemain, détenu à Sainte-Pélagie, il est jugé et acquitté le 15 juin. Ce n'est que partie remise, car le 14 juillet, à la tête d'un groupe de manifestants, il est arrêté pour port illégal de l'uniforme de la Garde Nationale, et condamné le 23 octobre à 6 mois de prison, car récidiviste.

En prison, il continuera ses travaux. Libéré en 1832, il s'éprend en mai 1832 d'une femme, Stéphanie D. (Dumotel?), avec qui il rompt le 14 mai. On ne sait trop pourquoi, mais un duel semble en résulter quelques jours plus tard ("Je meurs pour une infâme coquette"). La nuit précédente, le 29 mai, Galois rassemble ses dernières découvertes dans une splendide lettre adressée à son ami Auguste Chevalier :
"Mon cher Ami, j'ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. Les unes concernent la théorie des Équations, les autres les fonctions Intégrales. Dans la théorie des équations, j'ai recherché lesquelles étaient résolubles par radicaux....".

De cette lettre naquit la légende selon laquelle Galois fit ses découvertes majeures en une seule nuit, pris par la fièvre de la mort. La matinée du 30 mai, Galois, abandonné, grièvement blessé, est relevé par un paysan et conduit à l'Hôpital Cochin. Il meurt de péritonite le 31 mai 1832 dans les bras de son jeune frère Alfred. Il est enterré dans la fosse commune du cimetière de Montparnasse. Ses amis républicains préparent un soulèvement à l'occasion de ses obsèques. Reporté au 5 juin, il conduira au massacre du cloître de Saint-Méry.

Les travaux de Galois

Les travaux de Galois sont redécouverts une dizaine d'années plus tard par Liouville, qui le 4 septembre 1843 annonce à l'Académie des Sciences qu'il vient de trouver dans les papiers de Galois une solution aussi exacte que profonde au problème de la résolubilité par radicaux. Ce n'est qu'en octobre 1846 qu'il publie les textes sans y joindre de commentaires. A partir de 1850, les écrits de Galois sont enfin accessibles par les meilleurs mathématiciens, et les travaux de Kronecker, Dedekind, Cayley conduisent à l'Algèbre Moderne.
En langage moderne, Galois a établi une correspondance entre deux objets mathématiques distincts. Si P est un polynôme, le corps de décomposition de ce polynôme est le corps engendré par l'ensemble des racines de ce polynôme (par exemple, si P=X²+1, considéré sur Q, ce corps est Q[i]). La correspondance de Galois est une application entre corps intermédiaires et sous-groupes. Les corps intermédiaires sont ceux compris entre le corps de base et le corps de décomposition du polynôme considéré ; et les sous-groupes, ceux du groupe de Galois du polynôme, qui est lui-même un sous-groupe du groupe des permutations sur n éléments (n étant le nombre de racines). Une condition sur le groupe de Galois du polynôme (être "résoluble") donne une condition sur la résolubilité "par radicaux" de l'équation induite par ce polynôme.

Les mathématiciens contemporains de Galois (né en 1811)

Michel Chasles (né en 1793)

Jean-Marie Duhamel (né en 1797)

Niels Abel (né en 1802)

Joseph Bertrand (né en 1802)

Charles-François Sturm (né en 1803)

Carl Jacobi (né en 1804)

William Hamilton (né en 1805)

Peter Dirichlet (né en 1805)

Joseph Liouville (né en 1809)

Karl Weierstrass (né en 1815)

Pafnouti Tchebychev (né en 1821)

Charles Hermite (né en 1822)

Leopold Kronecker (né en 1823)

Bernhard Riemann (né en 1826)

Source de cette biographie : le site BibM@th .

P.S. : Le canard républicain remercie chaleureusement les auteurs de ce magnifique site consacré aux Mathématiques de leur autorisation pour reproduire sur son petit blog cette très belle biographie de notre immense mathématicien républicain Evariste Galois !

La naissance de l'Algèbre

Histoire des Mathématiques

Le mot Algèbre vient de l'arabe al-jabr. Algorithme, qui signifie procédé de calcul utilisant un nombre fini d'applications d'une règle, vient du nom d'un mathématicien arabe Al-Khwarizmi.

timbre représentant Al-Khwarizmi

Quelle chance de savoir résoudre un problème en le mettant en équation et en résolvant l'équation. Mais sait-on que plus de 30 siècles d'efforts ont été nécessaires avant que Leibniz ( mathématicien allemand, 1646 - 1716 ) puisse écrire : " Cette méthode épargne l'esprit et l'imagination [ ... ] Elle nous fait raisonner à peu de frais en mettant des caractères à la place des choses pour désembarrasser l'imagination. "

La marche vers l'inconnue

On trouve des problèmes numériques sur les tablettes d'argile babyloniennes et sur les papyrus égyptiens du 18e siècle avant J.-C.. Il s'agit souvent de partager des richesses ou des salaires, ou bien de calculer des poids, des longueurs, des aires ou des volumes. La solution se borne généralement à une suite de calculs qui ménent au résultat, mais elle n'apporte pas de justification et n'indique aucune méthode générale. Bref, ce n'est pas de l'algèbre. Il faut attendre le Grec Diophante ( d'Alexandrie ), au 3e siècle après J.-C., pour voir un mathématicien chercher un nombre ayant telle ou telle propriété, sans aucune préoccupation concrète ou géométrique. Déjà, on peut dire que Diophante résout des équations puisqu'il cherche un nombre inconnu qu'il prend soin de désigner par un symbole spécial. Pour le reste, ses équations sont écrites sous la forme d'une phrase, avec quelques abréviations.

Répondez moi franchement : Préférez-vous résoudre " six fois le nombre diminué de trois est égal au double du nombre augmenté de cinq " ou bien " 6x - 3 = 2x + 5 " ?

Par al-jahr et al-muqabala

Après Diophante, ce sont les savants de l'Inde qui poursuivent les recherches en algèbre. Puis, au 9e siècle, le mathématicien Al-Khwarizmi qui travaillait à Bagdad décrit une méthode précise pour résoudre des équations.

• Il enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation : cette technique est nommée " al-jahr ". Ainsi 6x - 3 = 2x + 5  devient 6x = 2x + 8, en ajoutant 3 à chaque membre.
• Il soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres : cette technique est nommée " al-muqabala ". Ainsi, l'équation précédente devient 4x = 8 en soustrayant 2x à chaque membre.
• Il trouve finalement x = 2 en divisant les deux membres par 4.

Les oeuvres d' Al-Khwarizmi , écrites en arabe, on été traduites en latin et diffusées en Europe par l'Italie et l'Espagne. Ceci contribua à éveiller l'activité mathématique très peu développée dans l'Europe occidentale au Moyen-Âge.

Des chiffres et des lettres

Bon, on savait désormais résoudre des équations ( pas trop compliquées ) mais on les écrivait toujours en phrases ! Grâce à l'usage des chiffres, on cesse d'écrire les nombres en toutes lettres. A la fin du 15e siècle apparaissent les signes + et -, bientôt accompagnés de symboles  pour la multiplication et la division. L'Anglais Recorde imagine en 1557 le signe = ( bien commode pour les équations ); et Harriot propose les signes < et > en 1631 ( pour les inéquations). Le dernier grand progrès fut de noter les nombres à l'aide de lettres, ce qui permet de travailler sur des formules littérales ( écrites avec des lettres ) valables quelles que soient les valeurs des lettres. Le Français François Viète ( 1540 - 1603 ), qui a étudié Diophante et Al-Khwarizmi, propose de représenter les nombres connus par des consonnes et les inconnues par des voyelles " afin que la mise en équation soit aidée ", écrit-il. Descartes ( 1596 - 1650 ) préférera les lettres du début de l'alphabet ( a, b, c, d,...) pour les nombres connus et celles de la fin ( z, y, x,...) pour les inconnues. C'est l'usage le plus répandu actuellement.

La sérennité et le doute...

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La Mélancolie d'Albrecht Dürer ( 1514 )

Epoque :  Renaissance

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Analyse :  L'être mélancolique, seul, replié sur lui-même, entouré des emblèmes des sciences et des arts, mais capable malgré sa tristesse, d'invention créatrice, est sous l'influence de la planète Saturne. Cette gravure donne l'image de l'indolence et du découragement, mais elle exprime aussi la sérénité qu'apporte l'érudition. Un homme né pour créer, mais que sa triste solitude rejette dans le doute et l'incertitude.